Makalah Aritmatika: Pecahan , persen dan perbandingan

KATA PENGANTAR

Dengan mengucapkan puji dan syukur kepada Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya kepada kami, sehingga kami dapat menyelesaikan penyusunan makalah ini dengan judul “Pecahan, Perbandingan, dan Persen”.

Makalah ini disusun dengan harapan dapat menambah pengetahuan dan wawasan kita semua tentang macam-macam bilangan dan lain lain.

Kami menyadari bahwa dalam penyusunan makalah ini masih jauh dari kesempurnaan. Untuk itu kami sangat mengharapkan kritik dan saran yang sifatnya membangun guna sempurnanya makalah ini . Kami berharap semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca umumnya dan bagi kami khususnya .

Jakarta, 9 April 2016

Penyusun

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR                                                                                                  i

DAFTAR ISI                                                                                                                ii

BAB I      PENDAHULUAN                                                                                        

1.         Latar Belakang Masalah                                                                                          

2.         Tujuan Penulisan                                                                                                      

3.         Ruang Lingkup                                                                                                        

BABII     PEMBAHASAN                                                                                           

2.     Pengertian Pecahan, Perbandingan, dan Persen                                                      

2.1     Pembahasan Pecahan                                                                                              

2.2       Pembahasan  Perbandingan.................  ............................................................

2.3       Pembahasan  Perbandingan                                                                                    

BAB III   PENUTUP                                                                                                    

1.         Kesimpulan                                                                                                              

2.         Saran

DAFTAR PUSTAKA                                                                                                   

BAB I

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Makalah ini menyajikan pembahasan pecahan, perbandingan dan persen yang dibagi menjadi tiga kegiatan belajar, yaitu: kegiatan belajar membahas pecahan perbandingan, dan persen. Pecahan, perbandingan, dan persen diajarkan di sekolah dasar. Untuk itu, agar anda (guru dan calon guru SD) dapat menyelenggarakan pembelajarannya dengan baik, anda mutlak harus menguasai materi ini. Disamping itu, agar pembelajaran lebih bermakna, usahakankaitkan materi ini dengan kejadian-kejadian dalam kehidupan sehari-hari. Sebagai acuan utama penulisan bahan belajar madiri ini adalah: (1) kurikulum tingkat satuan pendidikan untuk sekolah dasar, dan (2) buku karangan Billstein, Liberskind, dan Lot (1993), A Problem Solving Approach to Mathematics for Elemtary School Teachers. Sedangkan sebagai rujukan tambahan penulisan bahan belajar mandiri ini adalah buku-buku matematika SD yang beredar di pasaran, khususnya yang berkenaan dengan pecahan, perbandingan, dan persen.

Pecahan merupakan bagian matematika yang erat kaitannya dengan masalah yang ada dalamkehidupan sehari-hari. Sama halnya dengan bilangan asli, cacah, dan bulat, pecahan juga mulai diajarkan di Sekolah Dasar namun mulai diajarkannya di kelas III semester 2 sesuai standar isi pada KTSP. Pecahan termasuk bagian dari matematika yang diajarkan di jenjang sekolah dasar dan masih banyak yang menjadi permasalahan dalam pembelajarannya. Melalui tulisan ini dicoba untuk memberikan gambaran konsep tentang beberapa kaidah dalam pecahan. Konsep yang dimaksud diantaranya mengapa pada penjumlahan dan pengurangan pecahan yang berbeda penyebut untuk dapat melakukan operasinya harus disamakan dahulu penyebut-penyebutnya, mengapa pada perkalian dua pecahan hasilnya sama dengan pecahan yang pembilangnya sama dengan hasil kali pembilang pada pecahan-pecahan asal dan penyebutnya juga sama dengan pecahan yang penyebutnya sama dengan hasil kali penyebut pada pecahan-pecahan asal. Pembelajaran konsep-konsep pecahan didesaian sesuai dengan tahapan pembelajaran Bruner yakni dengan tanpa memandang usia pembelajaran matematika akan sukses diterima peserta didik jika dimulai dari tahapan kongkrit (enactive), kemudian tahapan semi kongkrit (econic), dan terakhir tahapan abstrak (symbolic). Menurut Bruner jika pembelajaran yang diberikan kepada peserta didik dilakukan melalui ketiga tahapan itu secara urut, maka mereka (peserta didik) akan mampu mengembangkan pengetahuannya jauh melampaui apa yang pernah mereka terima dari gurunya. Menurut Bruner (Jerome Bruner, 1915 – ) seorang psikolog berkebangsaan Amerika dengan tanpa memandang usia/kelompok usia pembelajaran matematika akan sukses diterima peserta didik jika dimulai dari tahapan kongkrit (enactive), kemudian tahapan semi kongkrit (econic), dan terakhir tahapan abstrak (symbolic). Menurut Bruner jika pembelajaran yang diberikan kepada peserta didik dilakukan melalui ketiga tahapan itu secara urut, maka mereka (peserta didik) akan mampu mengembangkan pengetahuannya jauh melampaui apa yang pernah merekaterima dari gurunya.

B. TUJUAN

Mengenalkan kaidah/konsep-konsep pembahasan pecahan, perbandingan dan persen terapannya agar para peserta lebih mampu dan lebih kompeten dalam membelajarkan pecahan kepada para siswanya.

C. RUANG LINGKUP

Mengenal pecahan, perbandingan dan persen dalam pembelajaran Matematika bagi siswa di sekolah.

BAB II

PEMBAHASAN

2. Pengertian Pecahan, Perbandingan, dan Persen

Secara singkat, bilangan pecahan dapat diartikan sebagai sebuah bilangan yang memiliki pembilang dan juga penyebut. Pada bentuk bilangan ini, pembilang dibaca terlebih dahulu baru disusul dengan penyebut. Ketika menyebutkan suatu bilangan pecahan, diantara pembilang dan penyebut harus disisipkan kata "per". Misalkan untuk bilangan 3/5 maka kita dapat menyebutnya dengan "tiga per lima" begitu juga dengan bilangan 1/4 kalian bisa membacanya "satu per empat" atau "seperempat". Apabila ada bilangan pecahan yang memiliki nilai sama atau nilainya tetap ketika pembilang dan penyebutnya dikalikan/dibagi dengan sebuah bilangan (bukan nol) maka bilangan pecahan tersebut disebut dengan pecahan senilai. Konsep dari pecahan senilai adalah:

Perbandingan merupakan suatu hal yang sangat penting dalam matematika, demikian juga dalam kehidupan sehari-hari kita pun tidak lepas dari perbandingan. Sebagai ilustrasi perhatikan contoh berikut :

a. Usia Ayah 45 tahun dan usia ibu 40 tahun, sedangkan usia Ali 15 tahun serta usia Ani 10 tahun.

Perbandingan usia ayah dan ibu = 45 tahun : 40 tahun = 45 : 40 = 9 : 8

 Perbandingan Usia Ali dan Ani = 15 tahun : 10 tahun = 15 : 10 = 3 : 2

Perbandingan usia Ayah dan Ali = 45 tahun : 15 tahun = 45 : 15 = 3 : 1

Dalam matematika, persentase atau perseratus adalah sebuah angka perbandingan untuk menyatakan pecahan dari seratus. Kata persen berasal dari bahasa latin per centum, yang artinya persetarus. Persentase sering ditunjukkan dengan dengan symbol “ % “. Persentase juga digunakan meskipun bukan unsur ratusan : N % = N/100

Jadi, n % dari suatu kuantitas adalah n/100 dari kuantitas itu. Dengan demikian, 1% adalah 1/100 dari keseluruhan dan 100% menunjukkan seluruh kuantitas. 

Sebagai contoh, 4 orang dosen sedang mengawas ujian di kampus, 3 dari mereka tak berkacamata dan 1 orang berkacamata. Persentase dosen tak berkacamata adalah 3 dari 4 = 3/4 =75/100 = 75 %. Sementara dosen yang berkacamata adalah 1 dari 4 = 1/4= 25/ 100 = 25 %. Jadi persentase dari dosen yang tak berkacamata adalah 75% dan yang berkacamata adalah 25%.

2.1.PEMBAHASAN PECAHAN

A. Pengertian Bilangan Pecahan

Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk  dengan a dan b adalah anggota bilangan bulat ( a dan b  B dan b ). a disebut pembilang dan b disebut penyebut.

Contoh: Dua buah mangga dibagikan seorang ibu kepada 3 orang anaknya. Berapa bagian yang didapatkan oleh setiap anaknya ?

Jawab: Masing-masing anaknya memperoleh  bagian.

B. Pecahan Senilai (eqivalen)

Pecahan senilai adalah pecahan – pecahan yang memiliki nilai yang sama. Suatu pecahan mempunyai nilai tetap/sama/senilai jika pembilang dan penyebutnya dikali atau dibagi bilangan yang sama ( bukan nol ), sehingga

Contoh:

Berikut ini adalah contoh pecahan – pecahan senilai atau pecahan yang memiliki nilai yang sama.

C. Mengurutkan pecahan

Bilangan pecahan dapat diurutkan dengan mudah apabila penyebutnya sama. Apabila penyebutnya sudah sama, maka tinggal melihat pembilangnya dan mengurutkkan dari yang terkecil atau terbesar.

Contoh:

Urutkan bilangan pecahan  dari yang terbesar dan dari yang terkecil !

Jawab:

Urutan dari yang terbesar adalah

Urutan dari yang terkecil adalah

D. Menyederhanakan Pecahan

Pecahan  dapat disederhanakan menjadi bentuk yang paling sederhana dengan membagi pembilang dan penyebut dengan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari a  dan b.

Contoh:

Sederhanakanlah pecahan !

Jawab:

Pertama, tentukanlah FPB dari 45 dan 54!

Jadi FPB dari 45 dan 54 adalah 3×3=9

Setelah mendapatkan FPB dari 45 dan 54, kemudian sederhanakan pecahan tersebut dengan membagi pembilang dan penyebutdengan 9, sehingga

Jadi bentuk yang paling sederhana dari pecahan  adalah

D. Membandingkan Dua Pecahan

Dalam membandingkan atau menentukan hubungan antara kedua pecahan di gunakan tanda ‘<’ atau ‘kurang dari’, ‘>’ atau ‘lebih dari’.

Untuk membandingkan dua pecahan atau lebih dapat dilakukan dengan cara membandingkan pembilangnya, dengan syarat penyebut kedua pecahan tersebut harus sama.

Contoh:

Contoh diatas merupakan perbandingan pecahan dengan penyebut yang sama. Tetapi apabila penyebutnya tidak sama, maka langkah yang yang harus dilakukan adalah menyamakan penyebutnya terlebih dahulu.

Contoh:

Bandingkanlah pecahan !

Untuk membandingkan kedua pecahan tersebut, maka penyebutnya disamakan dengan 6.

Maka,   sehingga

E. Pecahan Desimal

Pecahan desimal adalah pecahan yang mempunyai penyebut khusus yaitu sepuluh, seratus, seribu dan seterusnya.

E. Bentuk – Bentuk Bilangan Pecahan

a. Berdasarkan nilai/ besarnya

·         Pecahan murni, yaitu pecahan yang besar pembilangnya kurang dari atau lebih kecil dari penyebutnya (  

Contoh:

·        Pecahan tidak murni, yaitu pecahan yang besar pembilangnya sama atau lebih besar dari penyebutnya  

Contoh:

b. Berdasarkan cara penulisannya

·         Pecahan biasa, merupakan bentuk umum dari pecahan yang di nyatakan dengan

·         Pecahan campuran, yaitu pecahan yang dapat ditulis dalam bentuk  .

Contoh:

·         Pecahan desimal, yaitu pecahan yang yang penyebutnya merupakkan perpangkatan dari bilangan 10.

Contoh:

·         Pecahan persen merupakan pecahan perseratus atau pecahan yang penyebutnya 100. Persen dilambangkan dengan %.

Contoh:

·         Pecahan permil merupakan pecahan yang penyebutnya 1000. Permil dilambangkan dengan ‰.

Contoh:

F. Mengubah Bentuk Pecahan ke Bentuk Lain

1.      Mengubah pecahan tidak murni menjadi pecahan campuran dan sebaliknya

Pecahan tidak murni dapat diubah menjadi pecahan campuran dengan membagi bilangan penyebut dengan pembilang dan mempunyai sisa.

Contoh:  

Sedangkan untuk mengubah pecahan campuran menjadi pecahan tidak murni, bilangan bulat dikalikan dengan penyebut dan ditambah dengan pembilangnya. Hasilnya dibagi dengan penyebut.

Contoh:

2.                  Mengubah pecahan biasa menjadi pecahan desimal dan sebaliknya

Ada 2 cara untuk mengubah pecahan biasa menjadi pecahan desimal yaitu membagi pecahan biasa tersebut dengan pembagian bersusun dan juga bisa dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan bilangan tertentu sehingga penyebutnya menjadi 10,100,1.000,...

Contoh:

Cara I.

Cara II.

Jadi bentuk desimal dari  adalah 0,4

Mengubah pecahan desimal menjadi pecahan biasa

Contoh:

3.      Mengubah pecahan biasa menjadi persen dan sebaliknya

Untuk mengubah pecahan biasa menjadi persen, maka penyebutnya diubah menjadi 100.

Contoh:

Mengubah pecahan persen menjadi pecahan biasa

Contoh:

4.      Mengubah pecahan biasa menjadi pecahan permil dan sebaliknya

Untuk mengubah pecahan biasa menjadi pecahan permil yaittu dengan mengubah penyebutnya menjadi 1.000.

Contoh:

Sedangkan untuk mengubah permil menjadi pecahan biasa dengan menulis bentuk  kemudian disederhanakan.

Contoh:

G. Menentukan pecahan yang terletak diantara dua pecahan

Untuk mementukan pecahan yang terletak diantara dua pecahan terlebih dahulu harus disamakan penyebutnya.

Contoh:  Tentukan pecahan yang nilainya terletak antara

Jawab : Penyebutnya disamakan dengan 15 karena KPK dari 3 dan 5 adalah 15.

Jadi, pecahan yang terletak diantara  adalah

H. Menuliskan bilangan pecahan pada garis bilangan

Urutan menempatkan bilangan pecahan pada garis bilangan pada dasarnya sama dengan menempatkan bilangan bulat pada garis bilangan, yaitu semakin ke kanan bilanagan – bilangan tersebut makin besar nilainya, sebaliknya makin ke kiri makin kecil nilainya.

Contoh:

Letakkan pecahan  pada garis bilangan !

Jawab:  terletak diantara bilangan bulat 0 dan 1

            Penyebutnya=3 jadi pada jarak 0 sampai 1 dibagi menjadi 3 bagian

 

                               

J. Operasi hitung pada bilangan pecahan

1.      Penjumlahan dan Pengurangan bilangan pecahan

Jika penyebutnya sama, dapat langsung dijumlah atau dikurangkan pembilang – pembilangnya sedemikian sehingga  

Jika penyebutnya tidak sama, harus disamakan dulu menjadi KPK dari penyebut- penyebutnya atau dengan rumus

Contoh: Hitunglah !

a.      

b.     

c.                                                            d.

Jawab:

a.      

b.     

c.      

3,15

0,173

3,323

d.      19,18 – 2,3 = 16,88

19,18

  2,3

16,88

2.      Perkalian dan pembagian bilangan pecahan

Perkalian antara bilangan bulat a dan pecahan  dinyatakan dengan

dan perkalian atara dua pecahan  dengan b,d ≠ 0 dinyatakan dengan

 

Perkalian antara dua pecahan desimal dengan m dan n angka dibelakang koma menghasilkan bilangan desimal dengan ( m + n ) angka dibelakang koma.

Contoh:

o  

o  

o  

Pembagian merupakan kebalikan dari perkalian. Membagi suatu bilangan bulat atau pecahan dengan pecahan  sama artinya dengan mengalikan bilangan tersebut dengan kebalikan dari , yaitu

Sedangkan untuk pembagian bilangan desimal, pembagi harus dijadikan bilangan bulat, kemudian dilakukan pembagian bersusun biasa.

Contoh:

o  

o  

       1,1

                         25 27,5

                  25                      

                     

                     25

                    25                  

                       0

K. Pembulatan dan bentuk baku pada pecahan

1.                  Pembulatan pada pecahan desimal dilakukan dengan aturan – aturan

o        Angka 5 keatas dibulatkan ke atas

o        Angka ke empat ke bawah dibulatkan ke bawah

Contoh:

a. Bulatkan sampai  dua tempat desimal!

§     2,379=2,38              (  9 dibulatkan ke atas, sehingga 7 menjadi 8)

§     0,1342=0,13            ( 4 dibulatkan ke bawah, sehingga 3  tetap 3)

§     12,8281=12,83        ( 8 dibulatkan ke atas, sehingga 2 menjadi 3)

b. Bulatkan sampai satu tempat desimal!

§     3,756=3,8

§     253,146=253,1

§     0,26703=0,3

2.                  Untuk menuliskan bilangan – bilangan yang sangat besar atau sangat kecil dengan lebih mudah, maka digunakan cara penulisan yang disebut bentuk baku.Bentuk baku untuk bilangan besar dinyatakan dengan  dan bentuk baku untuk bilangan kecil dinyatakan dengan

Contoh:

a.                  

b.                 

c.                  

d.                 

2.2.      PEMBAHASAN  Perbandingan

1.	a : b = c : d ; seharga dengan a x d = b x c
2.	a : b = c : d ; dapat diubah menjadi 4 perbandingan lain yaitu:
		d : b = c : a
		a : c = b : d
		c : d = a : b
		b : a = d : c

3. 

3.

Pada setiap perbandingan suku-sukunya boleh dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama

a : b = c : d ; dapat diubah menjadi:

a.

ma

:

mb

=

mc

:

md

atau:

a

:

b

=

c

:

d

m

m

m

m

b.

ma

:

mb

=

c

:

d

atau:

a

:

b

=

c

:

d

m

m

c.

a

:

b

=

mc

:

md

atau:

a

:

b

=

c

:

d

m

m

d.

ma

:

b

=

mc

:

d

atau:

a

:

b

=

c

:

d

m

m

e.

a

:

mb

=

c

:

md

atau:

a

:

b

=

c

:

d

m

m

f.

am

:

b

=

c

:

d

atau:

a

:

mb

=

c

:

d

m

m

Contoh soal mengenai perbandingan dan cara menyelesaikannya.
Tinggi badan Adi 150 cm, sedangkan tinggi badan ani 120cm, berapakah perbandingan tinggi antara adi dan ani?
jawab:
tinggi badan adi : tinggi badan ani
150 : 120
-> sederhanakan perbandingan tersebut dengan membagi keduanya dengan fpb dari keduanya. karena fpb dari keduanya adalah 30, maka :


jadi perbandingannya adalah 5:4

Untuk mencari perbandingan suatu obyek, ada beberapa hal yang perlu dilakukan, yaitu:
– Bandingkanlah besaran yang satu dengan yang lain.
– Bila satuan dari keduanya berbeda, samakan terlebih dahulu satuannya.
– Jika perbandingan masih terlalu besar, sederhanakan bentuk perbandingannya dengan menggunakan fpb dari keduanya.
Ada dua jenis perbandingan.
1. Perbandingan senilai
adalah perbandingan yang memiliki sifat besaran dimana apabila salah satu nilai bertambah, maka yang lainnya pun akan bertambah.

Misalkan terdapat dua besaran A={a₁, a₂, a₃,...,a_n} B={b₁,b₂, b₃,...,b_n} yang berkorespondensi satu-satu, maka A dan B disebut berbanding senilai. Jika untuk ukuran A semakin besar maka ukuran B semakin besar pula.Menyelesaikan perbandingan senilai:

A	B
a1	b1
a2	b2
a3	b3
...	...
an	bn

2. Perbandingan berbalik nilai
adalah sebuah perbandingan yang memiliki sifat besaran dimana jika salah satu bertambah maka yang lainnya akan berkurang.

Contoh Soal :

Misal terdapat dua besaran A={a₁, a₂, a₃,..., a_n} dan B={b₁, b₂, b₃,...,b_n} yang berkorespondensi satu-satu maka A dan B disebut berbalik nilai jika untuk ukuran A semakin besar tetapi B semakin kecil.Menyelesaikan perbandingan berbalik nilai

 

2.3 PERSEN

Mirip dengan pecahan, akan tetapi persentase dibuat keseluruhan pecahan (bilangan yang ada di bawah) adalah angka 100. Misal 3/4 itu adalah pecahan. Ketika penyebut kita jadikan 100 maka sobat akan dapat angka 75/100. Nah /100 ini kemudian diganti dengan istilah persen (per seratus) yang dilambangkan dengan %. Jadi 3/4 kalau dijadikan persen = 75%.

Rumus Mencari Persentase :

 Nilai Persen = Nilai / Nilai Pecahan x 100 dan contoh soal matematika persentase ada dibawah ini.

Perhitungan persen (%) seing digunakan sehari-hari.  Misalnya dalam perhitungan :

1. Untung, rugi, dan potongan harga pada jual beli.
2. Bunga tabungan atau simpan pinjam di bank atau koperasi.
3. Berat bruto dan netto dari suatu barang.

Perhitungan Untung Rugi

Seorang penjual memperoleh keuntungan jika menjual barang dengan harga lebih tinggi dari pembeliannya.

                        Untung                       :  harga penjualan  >  harga pembelian

Seorang penjual mengalami kerugian jika menjual barang dengan harga lebih rendah dari pembeliannya.

                        Rugi                :  harga penjualan < harga pembelian

RUMUS

Untung                 =  persentase untung  x  harga pembelian Rugi                       =  persentase rugi           x  harga pembelian Persentase untung         =             untung                 x  100 %                                                     --------------------------                                                       harga pembelian       Persentase rugi                =             rugi                        x  100 %                                                     --------------------------                                                       harga pembelian

 

Contoh

Seorang pedagang memperoleh keuntungan 5 %.  Jika harga pembelian Rp. 120.000,-  berapa keuntungannya ?

Jawab

Persentase untung                   =  5 %

Harga pembelian                     =  Rp. 120.000,-

Untung            =  5 %  x  120.000

                        =  Rp.  6.000,-

Pak Hasan menjual telur.  Karena ada telur yang pecah Pak Hasan menderita kerugian 5% atau Rp. 30.000,-.  Berapa rupiah hasil penjualan telur Pak Hasan ?

Jawab

Persentase rugi                        =  5 %

Rugi                                        =  Rp. 30.000,-

Harga pembelian                     =  30.000 :  5 %

                                                =  30.000 X  100

                                                                      5

                                                =   Rp. 6.00.000,-

Harga penjualan                      =  600.000  - 30.000

                                                =  570.000,-

BAB III

PENUTUP

1.        Kesimpulan

Pecahan, Perbandingan, dan Persen banyak di jumpai dalam pembelajaran Matematika kita sebagai calon pendidik yang mengajar siswa di kelas harus menguasai materi yang akan diajarkan, namun saat pengajaran terkadang  siswa menemui kendala dalam pelajaran ini. Guru sebagai pengajar harus mampu menyajikan materi ini dan lebih mudah dipahami siswa dengan cara yang konkret dalam kehidupan sehari-hari.

2.        Saran

Mengingat pentingnya pelajaran Matematika karena Matematika termasuk pelajaran yang di ujikan dalam  Ujian Nasional untuk  itu penulis menyarankan bagi mereka yang mendapat nilai di bawah KKM untuk:

a.         Siswa harus rajin berlatih berhitung agar mendapat nilai yang maksimal.

b.         Berlatih mengerjakan soal-soal.

c.         Selalu aktif dalam pembelajaran Matematika.

d.        Mengerjakan tugas yang di berikan dan rajin belajar.

Karena kita tidak ada ruginya dalam belajar Matematika dan juga untuk mendapatkan nilai yang kita inginkan  dan juga jika kita mau berlatih dan berusaha  semua kata sulit  itu bisa di atasi, tingkatan prestasi dan belajar andadalam pelajaran matematika.